งาน พลังงาน 

En-20 มวล \(m\) ไถลไปรอบผิวเกลี้ยงและลื่นด้านในของกรวยที่หงายตั้งตรงไว้ โดยไถลเป็นแนววงกลม ดังรูป อยากทราบว่า \(m\) จะมีค่าพลังงานศักย์เป็นกี่เท่าของค่าพลังงานจลน์ ทั้งนี้ให้ถือว่าระดับที่พลังงานศักย์มีค่าเป็นศูนย์คือที่ปลายล่างของกรวย

เฉลย \begin{aligned} \dfrac{mg}{(\dfrac{mv^2}{R})}&=tan \theta\\ \dfrac{mgR}{mv^2}&=\dfrac{R}{h}\\ \dfrac{mgh}{mv^2}&=1\\ \dfrac{mgh}{2\times \dfrac{1}{2} mv^2}&=1\\ \dfrac{E_p}{2E_k}&=1\\ E_p&=2E_k \end{aligned} ดังนั้น ค่าพลังงานศักย์เป็น \(2\) เท่าของค่าพลังงานจลน์

En-20 เด็กเล็ก ๆ คนหนึ่งออกแรงลากเสาด้วยแรงคงที่ในแนวระดับเท่ากับ \(20\) นิวตัน ตั้งแต่เริ่มลากจนกระทั่งหยุดนิ่ง โดยที่ทุกก้าวถัดไปเขาก้าวได้ยาวเพียงสามในสี่ของก้าวอันก่อน อยากทราบว่าตั้งแต่เริ่มลากจนกระทั่งหยุด เด็กเล็กทำงานไปกี่จูล ถ้าหากว่าก้าวแรกยาว \(0.25\) เมตร

เฉลย ระยะทางที่เด็กก้าวได้ทั้งหมดหาจากสูตร \begin{aligned} s&=\dfrac{a_1}{1-r}\\ s&=\dfrac{0.25}{1-\dfrac{3}{4}}\\ s&=\dfrac{0.25\times 4}{4-3}\\ s&=1\\ W&=Fs\\ W&=(20)(1)\\ W&=20 \end{aligned} ดังนั้น ตั้งแต่เริ่มลากจนกระทั่งหยุด เด็กเล็กทำงานไป \(20\) จูล

En-20 มวล \(m\) ถูกดีดในแนวระดับจากยอดของผืวครึ่งทรงกลมรัศมี \(R\) ด้วยความเร็วต้น \(v_0=\sqrt{0.4gR}\) ซึ่งจะทำให้ \(m\) ไถลไปบนผิว (ซึ่งในที่นี้เกลี้ยงและลื่น) จนกระทั่งถึงตำแหน่ง \(A\) ในรูป \(m\) ก็เริ่มหลุดออกจากผิวและไม่เคยแตะผิวอีกเลย อยากทราบว่า \(\cos\theta \) มีค่าเท่าไร

เฉลย หาความเร็วที่ \(A\) \begin{aligned} mgcos\theta&=\dfrac{mv^2}{R}\\ v^2&=gRcos\theta\\ v&=\sqrt{gRcos\theta} \end{aligned} กฎอนุรักษ์พลังงานที่จุด \(A\) เท่ากับ \(B\) \begin{aligned} mgh+\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}mv^2\\ gh+\dfrac{1}{2}v_0^2=\dfrac{1}{2}v^2\\ gR(1-cos\theta)+\dfrac{1}{2}(0.4gR)&=\dfrac{1}{2}gRcos\theta\\ 1-cos\theta+0.2&=0.5cos\theta\\ 1.5cos\theta&=1.2\\ cos\theta&=\dfrac{1.2}{1.5}\\ cos\theta&=\dfrac{4}{5}\\ cos\theta&=0.8 \end{aligned} ดังนั้น \(\cos\theta \) มีค่า \(0.8\)