เฉลย 1. ระยะสูงสุดหาจากลูกบอลลูกแรกขึ้นไปถึงจุดสูงสุด
\begin{aligned}
v^2&=u^2+2as\\
0&=u^2+2(-g)s\\
s&=\dfrac{u^2}{2g}
\end{aligned}
2. ระยะทางลูกแรกตกลงมาใช้เวลา \(t\) วินาที \begin{aligned} s_1&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_1&=0+\dfrac{1}{2}(g)t^2\\ s_1&=\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
3. โยนลูกที่สองตามชึ้นไปด้วยความเร็วต้นเท่ากัน ไปชนกับลูกแรกที่ตกลงมาพอดีใช้เวลา \(t\) วินาทีเท่ากัน \begin{aligned} s_2&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_2&=ut+\dfrac{1}{2}(-g)t^2\\ s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
4. ระยะทางลูกแรกรวมกับลูกที่สองจะเท่ากับระยะทางที่ลูกแรกขึ้นได้สูงสุด \begin{aligned} s_1+s_2&=s\\ \dfrac{1}{2}gt^2+ut-\dfrac{1}{2}gt^2&=\dfrac{u^2}{2g}\\ ut&=\dfrac{u^2}{2g}\\ t&=\dfrac{u}{2g} \end{aligned} แทนเวลาในสมการลูกที่สองเคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2\\ s_2&=u(\dfrac{u}{2g})-\dfrac{1}{2}g(\dfrac{u}{2g})^2\\ s_2&=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{8g}\\ s_2&=\dfrac{3u^2}{8g} \end{aligned} โจทย์กำหนดให้ความเร็วต้นเท่ากับ \(v\)
ดังนั้น ลูกที่สองจะชนกัน ณ ความสูง \(\dfrac{3v^2}{8g}\) เมตรจากจุดโยน
2. ระยะทางลูกแรกตกลงมาใช้เวลา \(t\) วินาที \begin{aligned} s_1&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_1&=0+\dfrac{1}{2}(g)t^2\\ s_1&=\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
3. โยนลูกที่สองตามชึ้นไปด้วยความเร็วต้นเท่ากัน ไปชนกับลูกแรกที่ตกลงมาพอดีใช้เวลา \(t\) วินาทีเท่ากัน \begin{aligned} s_2&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\ s_2&=ut+\dfrac{1}{2}(-g)t^2\\ s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{aligned}
4. ระยะทางลูกแรกรวมกับลูกที่สองจะเท่ากับระยะทางที่ลูกแรกขึ้นได้สูงสุด \begin{aligned} s_1+s_2&=s\\ \dfrac{1}{2}gt^2+ut-\dfrac{1}{2}gt^2&=\dfrac{u^2}{2g}\\ ut&=\dfrac{u^2}{2g}\\ t&=\dfrac{u}{2g} \end{aligned} แทนเวลาในสมการลูกที่สองเคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=ut-\dfrac{1}{2}gt^2\\ s_2&=u(\dfrac{u}{2g})-\dfrac{1}{2}g(\dfrac{u}{2g})^2\\ s_2&=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{8g}\\ s_2&=\dfrac{3u^2}{8g} \end{aligned} โจทย์กำหนดให้ความเร็วต้นเท่ากับ \(v\)
ดังนั้น ลูกที่สองจะชนกัน ณ ความสูง \(\dfrac{3v^2}{8g}\) เมตรจากจุดโยน
 |
ก. \(11.25\) เมตร
ข. \(10.0\) เมตร ค. \(4.12\) เมตร ง. \(1.5\) เมตร |
เฉลย ที่ตำแหน่งสูงสุดความเร็วปลายเท่ากับศูนย์ \((v=0)\) ระยะทางจะเท่ากับ พ.ท.ใต้กราฟ \(v-t\) ในช่วงเวลา \(0-1.5\) วินาที
\begin{aligned}
s&=\dfrac{1}{2}\times 1.5 \times 15 \\
s&=\dfrac{22.5}{2}\\
s&=11.25
\end{aligned}
ดังนั้น วัตถุจะขึ้นถึงตำแหน่งสูงสุดเป็นระยะเท่า \(11.25\) เมตร ตอบข้อ ก.
เฉลย พื้นที่สันคลื่นเท่ากับพื้นที่ท้องคลื่น ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพอดี จะได้ระยะทางเท่ากับ พ.ท.ใต้กราฟ \(v-t\) ในช่วงเวลา \(1-4\) วินาที
\begin{aligned}
s&=(4-1)\times 1 \\
s&=3\times 1\\
s&=3
\end{aligned}
ดังนั้น ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ระหว่างจุด \(A\) กับ \(B\) เท่ากับ \(3\) เมตร
 |
ก. \(100\) เมตรไปทางขวามือ
ข. \(125\) เมตรไปทางซ้ายมือ ค. \(75\) เมตรไปทางขวามือ ง. \(75\) เมตรไปทางซ้ายมือ จ. \(125\) เมตรไปทางขวามือ |
เฉลย 1. ช่วงเวลา \(0-5\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(2 \ m/s^2\) หาระยะทางได้
\begin{aligned}
s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\
s&=0+\dfrac{1}{2}(2)(5)^2\\
s&=25
\end{aligned}
2. ช่วงเวลา \(5-10\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(0 \ m/s^2\) แสดงว่าความเร็วคงที่ตลอดช่วงเวลา \(5-10\) วินาที มีค่าเท่ากับความเร็วเมื่อสิ้นเวลา \(5\) วินาที
\begin{aligned}
v&=u+at\\
v&=0+2\times 5\\
v&=10
\end{aligned}
จะได้ระยะทางช่วงความเร็วคงที่ช่วงเวลา \(5-10\) วินาที เท่ากับ
\begin{aligned}
s&=vt\\
s&=10\times 5\\
s&=50
\end{aligned}
3. ช่วงเวลา \(15-20\) วินาที ความเร่งเท่ากับ \(-2 \ m/s^2\) หาระยะทางได้
\begin{aligned}
s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\
s&=(10)(5)+\dfrac{1}{2}(-2)(5)^2\\
s&=50-25\\
s&=25
\end{aligned}
ดังนั้น การขจัดของวัตถุมีค่า \(25+50+25=100 \) เมตร ไปทางขวามือ
ตอบข้อ ก.
ตอบข้อ ก.
 |
ก. \(6\) ข. \(20\) ค. \(31\) ง. \(49\) |
เฉลย หาเวลาหนึ่งหยดถึงพื้น
\begin{aligned}
s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\
0.5&=0+\dfrac{1}{2}(10)t^2\\
t^2&=\dfrac{1}{10}\\
t&=\sqrt{\dfrac{1}{10}}
\end{aligned}
ในเวลา \(10\) วินาที จะมีน้ำหยดได้
\begin{aligned}
n&=\dfrac{10}{t}\\
n&=10\sqrt{10} \\
n&=10\times 3.16\\
n&=31.6
\end{aligned}
ดังนั้น จะมีน้ำ \(31\) หยดต่อ \(10\) วินาที
ตอบข้อ ค.
ตอบข้อ ค.
 |
ถามว่า ขณะถุงทรายตกถึงพื้นดิน บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตราเร็วกี่เมตรต่อวินาที
ก. \(20\) ข. \(25\) ค. \(30\) ง. \(35\) |
 |
เฉลย 1. บอลลลูนอยู่สูงจากพื้นดินเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ ในช่วง \(8\) วินาทีแรกก่อนถุงทรายหลุด
\begin{aligned}
s&=\dfrac{1}{2}\times (8)(10)\\
s&=40 \ \text{เมตร}
\end{aligned}
2. จากกราฟถุงทรายหลุดจากบอลลูนเมื่อเวลาผ่านไป \(8\) วินาที จะเคลื่อนที่ขึ้นด้้วยความเร็วต้นเท่ากับ \(10\) เมตร/วินาที แล้วจึงตกลงมาสู่พื้นดินที่การกระจัด \(-40\) เมตร/วินาที หาเวลาถุงทรายหลุดจากบอลลูนตกถึงพื้นดิน
\begin{aligned}
s&=ut+\dfrac{1}{2}at^2\\
-40&=10t+\dfrac{1}{2}(-10)t^2\\
-40&=10t-5t^2\\
-8&=2t-t^s\\
t^2-2t-8&=0\\
(t-4)(t+2)&=0\\
t&=4,\ -2\\
t&=4
\end{aligned}
3. ขณะถุงทรายตกถึงพื้นดิน บอลลูนใช้เวลาลอยอยู่ในอากาศ \(8+4=12\) วินาที ดังนั้น อ่านค่าอัตราเร็วของบอลลูนจากกราฟได้เท่ากับ \(20\) วินาที ตอบข้อ ก. |
ก. \(1.25\) เมตร ข. \(3.75\) เมตร ค. \(5.00\) เมตร ง. \(6.50\) เมตร
 |
เฉลย พิจารณาเฉพาะกระสุนลูกที่ \(2 \ \text{และ}\ 3\) ให้ \(t\) เป็นเวลากระสุนลูกที่ \(3\) ถูกยิงขึ้นไป ดังนั้นกระสุนลูกที่ \(2\) ใช้เวลาตกลงมาสวนกันพอดีที่เวลา \((t+1)\ \text{วินาที}\) การกระจัดกระสุนลูกที่ \(2\) เท่ากับกระสุนลูกที่ \(3\) เป็นบวกทั้งคู่เนื่องจากถูกยิงขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกัน
\begin{aligned}
h_2&=ut_2+\dfrac{1}{2}at_2^2\\
h_2&=10(t+1)+\dfrac{1}{2}(-10)(t+1)^2\\
h_2&=10t+10-5(t^2+2t+1)\\
h_2&=10t+10-5t^2-10t-5\\
h_2&=5-5t^2\\
h_3&=ut_3+\dfrac{1}{2}at_3^2\\
h_3&=10t+\dfrac{1}{2}(-10)t^2\\
h_3&=10t-5t^2\\
h_2&=h_3 \\
5-5t^2&=10t-5t^2\\
t&=\dfrac{5}{10}\\
t&=0.5 \ \text{วินาที}
\end{aligned}
เลือกแทนใน \(h_3\) ได้
\begin{aligned}
h_3&=ut_3+\dfrac{1}{2}at_3^2\\
h_3&=(10)(0.5)+\dfrac{1}{2}(-10)(0.25)\\
h_3&=5-1.25\\
h_3&=3.75 \ \text{เมตร}
\end{aligned}
ดังนั้น กระสุนลูกที่ \(2 \ \text{และ}\ 3\) จะสวนกันที่ระยะสูงสุดจากฐานยิง \(3.75\) เมตร ตอบข้อ ข. |
1. \(18.5\) กิโลเมตร 2. \(19.5\) กิโลเมตร 3. \(20.0\) กิโลเมตร 4. \(40.0\) กิโลเมตร
คำถามต่อเนื่อง กราฟความเร็ว-เวลา จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยใน \(0.2\) ชั่วโมงแรก
เฉลย ระยะทางเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว-เวลา ในช่วง \(0-0.5\) ชั่วโมง
\begin{aligned}
s_A&=\dfrac{1}{2}(0.1)(50)\\
s_A&=2.5\\
s_B&=(0.3-0.1)(50)\\
s_B&=10\\
s_C&=\dfrac{1}{2}(10+50)(0.5-0.3)\\
s_C&=6\\
s&=s_A+s_B+s_C\\
s&=2.5+10+6\\
s&=18.5
\end{aligned}
ดังนั้น ระยะทางที่เคลื่อนที่ไปได้ใน \(0.5\) ชั่วโมง เท่ากับ \(18.5\) ชั่วโมง ตอบข้อ 1.
เฉลยคำถามต่อเนื่อง อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในหนึ่งหน่วยเวลา \(0.2\) ชั่วโมง \begin{aligned} s&=\dfrac{1}{2}(0.2+0.1)(50)\\ s&=(0.3)(25)\\ s&=7.5\\ v_{av}&=\dfrac{s}{t}\\ v_{av}&=\dfrac{7.5}{0.2}\\ v_{av}&=37.5 \end{aligned} ดังนั้น อัตราเร็วเฉลี่ยใน \(0.2\) ชั่วโมงแรก เท่ากับ \(37.5\) กิโลเมตร/ชั่วโมง
เฉลยคำถามต่อเนื่อง อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในหนึ่งหน่วยเวลา \(0.2\) ชั่วโมง \begin{aligned} s&=\dfrac{1}{2}(0.2+0.1)(50)\\ s&=(0.3)(25)\\ s&=7.5\\ v_{av}&=\dfrac{s}{t}\\ v_{av}&=\dfrac{7.5}{0.2}\\ v_{av}&=37.5 \end{aligned} ดังนั้น อัตราเร็วเฉลี่ยใน \(0.2\) ชั่วโมงแรก เท่ากับ \(37.5\) กิโลเมตร/ชั่วโมง
 |
1. \(2\) 2. \(1\) 3. \(0\) 4. \(-1\) |
เฉลย ความเร็วปลายช่วงแรก \(0-2\) วินาที
\begin{aligned}
v&=u+at\\
v&=0+(2)(2)\\
v&=4 \ \text{เมตร/วินาที}
\end{aligned}
และเป็นความเร็วต้นช่วงเวลา \(2-5\) วินาที หาความเร็วปลายได้
\begin{aligned}
v&=u+at\\
v&=4+(-1)(3)\\
v&=4-3\\
v&=1 \ \text{เมตร/วินาที}
\end{aligned}
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที เท่ากับ \(1\) เมตร/วินาที ตอบข้อ \(2.\)
ใช้กราฟ ความเร็วเมื่อสิ้นวินาทีที่ \(n\) เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ \(a-t\)
\(2.\) สิ้นวินาทีที่ \(2\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+0=4\) เมตร/วินาที \((4,2)\)
\(3.\) สิ้นวินาทีที่ \(5\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+A_2=4-3=1\) เมตร/วินาที \((1,5)\)
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที เท่ากับ \(1\) เมตร/วินาที
ใช้กราฟ ความเร็วเมื่อสิ้นวินาทีที่ \(n\) เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ \(a-t\)
\(2.\) สิ้นวินาทีที่ \(2\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+0=4\) เมตร/วินาที \((4,2)\)
\(3.\) สิ้นวินาทีที่ \(5\) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากับ \(v=A_1+A_2=4-3=1\) เมตร/วินาที \((1,5)\)
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เวลา \(5\) วินาที เท่ากับ \(1\) เมตร/วินาที
1. \(10\) เมตร/วินาที 2. \(15\) เมตร/วินาที 3. \(20\) เมตร/วินาที 4. \(25\) เมตร/วินาที
เฉลย รถสองขบวนใช้เวลาหยุดเท่ากัน
1. รถคันแรกเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_1&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_1&=\dfrac{0+10}{2}t\\ s_1&=5t \end{aligned} 2. รถคันที่สองเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_2&=\dfrac{0+20}{2}t\\ s_2&=10t \end{aligned} 3. ผลรวมของระยะเบรกทั้งหมดกับระยะห่างเท่ากับระยะห่างระหว่างรถไฟสองขบวนตอนเริ่มต้นเคลื่อนที่ \begin{aligned} s_1+s_2+25&=325\\ 5t+10t&=300\\ t&=\dfrac{300}{15}\\ t&=20\\ \end{aligned} ดังนั้น เวลาที่รถทั้งสองใช้เป็น \(20\) วินาที ตอบข้อ 3.
1. รถคันแรกเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_1&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_1&=\dfrac{0+10}{2}t\\ s_1&=5t \end{aligned} 2. รถคันที่สองเบรคได้ระยะทาง \begin{aligned} s_2&=\dfrac{u+v}{2}t\\ s_2&=\dfrac{0+20}{2}t\\ s_2&=10t \end{aligned} 3. ผลรวมของระยะเบรกทั้งหมดกับระยะห่างเท่ากับระยะห่างระหว่างรถไฟสองขบวนตอนเริ่มต้นเคลื่อนที่ \begin{aligned} s_1+s_2+25&=325\\ 5t+10t&=300\\ t&=\dfrac{300}{15}\\ t&=20\\ \end{aligned} ดังนั้น เวลาที่รถทั้งสองใช้เป็น \(20\) วินาที ตอบข้อ 3.